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1. Calculemos el dominio de la función.
\( f(x) \) no está definida cuando el denominador es cero, porque tenemos una división con \( x \).
$ (x - 1)^2 \neq 0 $
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@Zoe Hola Zoe, solamente la escribí de una forma más linda :D
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@Josefina Hola Jose ¿Cómo estás? Eso lo vemos en el video en la sección de límites del curso :D
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@Leo Hola Leo ¿Cómo estás? No lo vemos en esta materia pero es cuando la función crece, se plancha y vuelve a crecer, o lo mismo pero decreciendo: decrece, se plancha y decrece. Podés ver la explicación en el video de estudio de funciones con la derivada
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
9.
Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales y el valor de la función en los mismos. Determinar las asíntotas verticales y horizontales. Hacer un gráfico aproximado de $f$.
b) $f(x)=\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}$
b) $f(x)=\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}$
Respuesta
Resolvemos tal como vimos en el video de estudio de funciones usando la derivada del curso.
$ x - 1 \neq |0| $
$ x - 1 \neq 0 $
\( x \neq 1 \)
\( \text{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{1\} \)
2. Hallamos la derivada de la función
$f(x) = \frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}$
$ f'(x) = \frac{(3x^2)(x-1)^2 - x^3(2)(x-1)}{(x-1)^4} $
Simplificamos un poco la expresión (porque después va a ser más fácil hacer Bolzano):
$ f'(x) = \frac{3x^2(x-1)^2 - 2x^3(x-1)}{(x-1)^4} $
$ f'(x) = \frac{3x^2(x^2 - 2x + 1) - 2x^4 + 2x^3}{(x-1)^4} $
$ f'(x) = \frac{3x^4 - 6x^3 + 3x^2 - 2x^4 + 2x^3}{(x-1)^4} $
$ f'(x) = \frac{x^4 - 4x^3 + 3x^2}{(x-1)^4} $
3. Buscamos los puntos críticos:
3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = \Re - \{1\} \). No obtuvimos puntos críticos de acá.
3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
Igualamos la derivada a cero:
$ x^4 - 4x^3 + 3x^2 = 0 $
Factorizamos sacando factor común $x^2$:
$ x^2(x^2 - 4x + 3) = 0 $
$ x^2(x - 1)(x - 3) = 0 $
$ x_1 = 0 $
$ x_2 = 1 $
$ x_3 = 3 $
4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\infty, 0) \): \( f'(-1) = \frac{(-1)^4 - 4(-1)^3 + 3(-1)^2}{((-1)-1)^4} = \frac{1 + 4 + 3}{16} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (0, 1) \): \( f'(0,5) = \frac{(0,5)^4 - 4(0,5)^3 + 3(0,5)^2}{((0,5)-1)^4} = \frac{0,0625 - 0,5 + 0,75}{0,0625} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (1, 3) \): \( f'(2) = \frac{(2)^4 - 4(2)^3 + 3(2)^2}{((2)-1)^4} = \frac{16 - 32 + 12}{1} < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (3, +\infty) \): \( f'(4) = \frac{(4)^4 - 4(4)^3 + 3(4)^2}{((4)-1)^4} = \frac{256 - 256 + 48}{81} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
5. Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos \( x = 0 \) y \( x = 3 \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = 3 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
-> \( x = 0 \): Es un punto de inflexión ya que \( f'(x) \) pasa de postivo a positivo. (Si no recordás esto andá a ver el video)
Podemos hallar las coordenadas del máximo sustituyendo los valores de \( x \) en la función \( f(x) \):
$ f(3) = \frac{3^3}{(3-1)^2} = \frac{27}{4} = 6,75 $ ¡Pero dejalo escrito en fracción eh!
6. Asíntotas
6.1 Asíntota vertical:
Hay una asíntota vertical en \( x = 1 \) ya que la función no está definida en ese punto y \( f(x) \) tiende a infinito cuando \( x \) se acerca a 1. Si te animás planteálos límites en comentarios👇
6.2 Asíntota horizontal:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{(x-1)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to \infty} x = \infty $
Por lo tanto, no hay asíntota horizontal.
Respuesta:
Dominio: \( \mathbb{R} - \{1\} \)
Intervalo de crecimiento: \( (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (3, +\infty) \) ⚠️ En las respuestas de la guía dice otra cosa, pero es un error
Intervalo de decrecimiento: \( (1, 3) \) ⚠️ En las respuestas de la guía dice otra cosa, pero es un error
Asíntota vertical: \( x = 1 \)
No hay asíntota horizontal.
No hay máximo relativo. ⚠️ En las respuestas de la guía dicen que sí, pero es un error
Mínimo relativo en \( x = 3 \) con coordenada \( (3, \frac{27}{4}) \)
El gráfico te quedaría así:
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Zoe
29 de junio 14:26
Realmente no logro entender el paso cuando simplifica la funcion, todo lo demas entiendo como hacerlo pero vengo intentando hace rato distribuir para que me de eso y no se como llega
Julieta
PROFE
15 de julio 18:04
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Josefina
2 de junio 16:52
profe me podria explicar como sacar la as. horizontal? es que lo trate de hacer pero no me sale :(
Julieta
PROFE
5 de junio 16:45
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Leo
31 de mayo 17:22
Holaaa :D perdón que pregunte, no entendi muy bien que es un punto de inflexión ¿Podría explicarme? <3
Julieta
PROFE
5 de junio 16:44
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