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1. Calculemos el dominio de la función.
\( f(x) \) no está definida cuando el denominador es cero, porque tenemos una división con \( x \).
$ (x - 1)^2 \neq 0 $
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@Candelaria La derivada parte de una función original. O sea, la que marca la posta es la original. La derivada puede no admitir algún valor en su dominio que la función original sí tenga. Es raro pero puede pasar. Van dos ejemplos:
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@Julieta No entiendo entonces como utilizarlo para bolzano ni la relación con las asíntotas :(
En que afecta esto en los puntos críticos?
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@Tatiana Hola! No, porque los máximos son los puntos donde la función crece y después decrece. Mirá la gráfica, un máximo tiene forma de "loma". Y ahí tenés un mínimo, un "pozo".
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@Milagros Claro! Usé la regla de la división primero, y en el momento en que tenés que derivar el denominador tenés que usar la regla de la cadena.
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@Abigail para que sea más claro voy a reescribir ese pedacito, de la misma forma en que lo escribirías en una calcu así queda claro para quienes leen este comentario y también para vos al momento de escribir las cuentas jeje: para escribir una potencia usamos el símbolo "^" y para productos usamos el "." (sino se confunde con la x) 😉
Ahora sí! Aclarado eso, vamos con lo que preguntabas:
Analizando el primer término del numerador de la derivada, vemos que pasamos de esto:
3x^2 . (x-1)^2
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@Julieta gracias profe por su delicadeza y paciencia, sos la mejor profe que tuve en mi lapso de estudio. graciass <3
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@Cami Hola, haciendo la resta de los exponentes. Cuando tenés una división de potencias de igual base se restan los exponentes. Y cuando tenés un producto de potencias de igual base se suman los exponentes. Esto lo explico en el video de potenciación al comienzo del curso :)
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@Zoe Hola Zoe, solamente la escribí de una forma más linda :D
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@Josefina Hola Jose ¿Cómo estás? Eso lo vemos en el video en la sección de límites del curso :D
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@Leo Hola Leo ¿Cómo estás? No lo vemos en esta materia pero es cuando la función crece, se plancha y vuelve a crecer, o lo mismo pero decreciendo: decrece, se plancha y decrece. Podés ver la explicación en el video de estudio de funciones con la derivada
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9.
Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales y el valor de la función en los mismos. Determinar las asíntotas verticales y horizontales. Hacer un gráfico aproximado de $f$.
b) $f(x)=\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}$
b) $f(x)=\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}$
Respuesta
Resolvemos tal como vimos en el video de estudio de funciones usando la derivada del curso.
$ x - 1 \neq |0| $
$ x - 1 \neq 0 $
\( x \neq 1 \)
\( \text{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{1\} \)
2. Hallamos la derivada de la función
$f(x) = \frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}$
$ f'(x) = \frac{(3x^2)(x-1)^2 - x^3(2)(x-1)}{(x-1)^4} $
Simplificamos un poco la expresión (porque después va a ser más fácil hacer Bolzano):
$ f'(x) = \frac{3x^2(x-1)^2 - 2x^3(x-1)}{(x-1)^4} $
$ f'(x) = \frac{3x^2(x^2 - 2x + 1) - 2x^4 + 2x^3}{(x-1)^4} $
$ f'(x) = \frac{3x^4 - 6x^3 + 3x^2 - 2x^4 + 2x^3}{(x-1)^4} $
$ f'(x) = \frac{x^4 - 4x^3 + 3x^2}{(x-1)^4} $
3. Buscamos los puntos críticos:
3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = \Re - \{1\} \). No obtuvimos puntos críticos de acá.
3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
Igualamos la derivada a cero:
$ x^4 - 4x^3 + 3x^2 = 0 $
Factorizamos sacando factor común $x^2$:
$ x^2(x^2 - 4x + 3) = 0 $
$ x^2(x - 1)(x - 3) = 0 $
$ x_1 = 0 $
$ x_2 = 1 $ (pero la función no está definida aca, este valor no pertenece al dominio, o sea que no es un PC)
$ x_3 = 3 $
4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\infty, 0) \): \( f'(-1) = \frac{(-1)^4 - 4(-1)^3 + 3(-1)^2}{((-1)-1)^4} = \frac{1 + 4 + 3}{16} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (0, 1) \): \( f'(0,5) = \frac{(0,5)^4 - 4(0,5)^3 + 3(0,5)^2}{((0,5)-1)^4} = \frac{0,0625 - 0,5 + 0,75}{0,0625} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (1, 3) \): \( f'(2) = \frac{(2)^4 - 4(2)^3 + 3(2)^2}{((2)-1)^4} = \frac{16 - 32 + 12}{1} < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (3, +\infty) \): \( f'(4) = \frac{(4)^4 - 4(4)^3 + 3(4)^2}{((4)-1)^4} = \frac{256 - 256 + 48}{81} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
5. Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos \( x = 0 \) y \( x = 3 \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = 3 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
-> \( x = 0 \): Es un punto de inflexión ya que \( f'(x) \) pasa de postivo a positivo. (Si no recordás esto andá a ver el video)
Podemos hallar las coordenadas del máximo sustituyendo los valores de \( x \) en la función \( f(x) \):
$ f(3) = \frac{3^3}{(3-1)^2} = \frac{27}{4} = 6,75 $ ¡Pero dejalo escrito en fracción eh!
6. Asíntotas
6.1 Asíntota vertical:
Hay una asíntota vertical en \( x = 1 \) ya que la función no está definida en ese punto y \( f(x) \) tiende a infinito cuando \( x \) se acerca a 1. Si te animás planteálos límites en comentarios👇
6.2 Asíntota horizontal:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{(x-1)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to \infty} x = \infty $
Por lo tanto, no hay asíntota horizontal.
Respuesta:
Dominio: \( \mathbb{R} - \{1\} \)
Intervalo de crecimiento: \( (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (3, +\infty) \) ⚠️ En las respuestas de la guía dice otra cosa, pero es un error
Intervalo de decrecimiento: \( (1, 3) \) ⚠️ En las respuestas de la guía dice otra cosa, pero es un error
Asíntota vertical: \( x = 1 \)
No hay asíntota horizontal.
No hay máximo relativo. ⚠️ En las respuestas de la guía dicen que sí, pero es un error
Mínimo relativo en \( x = 3 \) con coordenada \( (3, \frac{27}{4}) \)
El gráfico te quedaría así:
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Candelaria
1 de noviembre 13:35
El Dominio de f siempre es igual al de la derivada? No encuentro ejemplos en los que no sean iguales. Podrías pasarme uno? Porfi y gracias! :)
Julieta
PROFE
4 de noviembre 15:29
Ejemplo 1:
$f(x) = x^{\frac{2}{3}}$
$f'(x) = \dfrac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}$
$f'(x) = \dfrac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}$
Dominio de $f(x)$: Todos los números reales, $(-\infty, \infty)$.
Dominio de la derivada de $f'(x)$: Todos los números reales excepto en $x = 0$, ya que $x^{-\frac{1}{3}}$ no está definido en $x = 0$.
Ejemplo 2:
$f(x) = \sqrt{x}
$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
Dominio de $f(x)$: $[0, \infty)$.
Dominio de la derivada de $f'(x)$: $(0, \infty)$, ya que la derivada no está definida en $x = 0$ debido a la división por cero.
En estos ejemplos la función está definida en un dominio más amplio que su derivada.
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Candelaria
5 de noviembre 16:36
En que afecta esto en los puntos críticos?
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Tatiana
29 de octubre 21:47
hola profe, todo bien? no entiendo por qué no hay máximo relativo si en el intervalo de bolzano (1;3) decrece y en (3;+infinito) crece. No habría un punto máximo ahí? muchas gracias
Julieta
PROFE
30 de octubre 11:56
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Mallo
28 de octubre 19:57
hola profe, como estas? cuando hacemos bolzano el 1 no seria un punto maximo?
Milagros
26 de octubre 11:29
Profe me podría explicar como hizo la derivada porque no entendí nada🫠
Julieta
PROFE
30 de octubre 13:04
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Abigail
23 de octubre 13:53
profe, que es lo que hace par que la derivada quede 3x a la 2 x (x a la 2-2x+1) en el primer termino, y cuando se puede sumar o restar potencias profe? si tengo= x a la 4 - x a la 3, se puede restar eso o como hago?
Julieta
PROFE
24 de octubre 10:48
Ahora sí! Aclarado eso, vamos con lo que preguntabas:
Analizando el primer término del numerador de la derivada, vemos que pasamos de esto:
3x^2 . (x-1)^2
A esto:
3x^2 . (x^2 - 2x + 1)
Lo hice simplemente aplicando la fórmula de cuadrado de un binomio, esto lo vemos en el video de expresiones algebraicas de la primera unidad del curso.
Para sumar y restar potencias te recomiendo mirar el video de potenciación, volver a ver esos videos ahora que ya avanzaste tanto te va a ayudar muchísimo a comprender cómo hacer las cuentas. Parece un retroceso pero no lo es, es la clave para mejorar en tus cuentas, porque veo todo lo que estás avanzando en tus razonamientos Abi, es cuestión de seguir puliendo las operaciones de cuentas. ¡Venís muy bien! 🙌
Ahí vas a ver que x^4 - x^3 no pueden operarse, son peras y manzanas. Pero sí se estuviesen dividiendo, sí podrías restar los exponentes. O si se estuviesen multiplicando, sí podrías sumar los exponentes. Ya que en ambos casos son operaciones de producto o división de potencias de igual base, peeeero como te dije, mejor darle una repasadita a esos videos.
Lo hice simplemente aplicando la fórmula de cuadrado de un binomio, esto lo vemos en el video de expresiones algebraicas de la primera unidad del curso.
Para sumar y restar potencias te recomiendo mirar el video de potenciación, volver a ver esos videos ahora que ya avanzaste tanto te va a ayudar muchísimo a comprender cómo hacer las cuentas. Parece un retroceso pero no lo es, es la clave para mejorar en tus cuentas, porque veo todo lo que estás avanzando en tus razonamientos Abi, es cuestión de seguir puliendo las operaciones de cuentas. ¡Venís muy bien! 🙌
Ahí vas a ver que x^4 - x^3 no pueden operarse, son peras y manzanas. Pero sí se estuviesen dividiendo, sí podrías restar los exponentes. O si se estuviesen multiplicando, sí podrías sumar los exponentes. Ya que en ambos casos son operaciones de producto o división de potencias de igual base, peeeero como te dije, mejor darle una repasadita a esos videos.
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Abigail
27 de octubre 14:46
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Julieta
PROFE
23 de octubre 13:01
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Zoe
29 de junio 14:26
Realmente no logro entender el paso cuando simplifica la funcion, todo lo demas entiendo como hacerlo pero vengo intentando hace rato distribuir para que me de eso y no se como llega
Julieta
PROFE
15 de julio 18:04
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Josefina
2 de junio 16:52
profe me podria explicar como sacar la as. horizontal? es que lo trate de hacer pero no me sale :(
Julieta
PROFE
5 de junio 16:45
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Leo
31 de mayo 17:22
Holaaa :D perdón que pregunte, no entendi muy bien que es un punto de inflexión ¿Podría explicarme? <3
Julieta
PROFE
5 de junio 16:44
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